数学

Last updated Nov 30, 2022 Edit Source

各単元を下の階層で証明する. ここでは重要な定義と本質をまとめる.

数学基礎論ノート

• 全順序集合
• 同値類
• 濃度

• 群・正規部分群 群: 単位元, 逆元のある結合的な演算を持つ集合 ラグランジュの定理 $|G_1|=|G_2|(G_1:G_2)$ 準同型 準同型定理 $G/\Ker(\phi)\cong\Image(\phi)$
• 群の作用 Sylow の定理 p-Sylow 部分群の数 $s=|G|/|N_G(H)|=1\pmod{p}$ 有限アーベル群の構造定理 $G\cong\ZZ/a_1\ZZ\times\ldots\times\ZZ/a_n\ZZ$

• 環・イデアル 環準同型定理 $A/\Ker(\phi)\cong\Image(\phi)$
• 多項式環
• 素イデアル・極大イデアル 中国剰余定理
• 局所化
• 一意分解環, 単項イデアル整域, ユークリッド環 環$\impliedby$可換環$\impliedby$整域$\impliedby$正規環$\impliedby$UFD(一意分解環)$\impliedby$PID(単項イデアル整域)$\impliedby$ユークリッド環$\impliedby$体
• 加群

• 代数拡大・超越拡大 有限次拡大$\iff$有限生成の代数拡大
• 代数閉包 Steinitz の定理
• 分離拡大・正規拡大 既約な非分離多項式 $f(x)\in K $ $\iff$$\ch K=p>0$ であり, 既約な分離多項式 $g(x)\in K $ と $n>0$ があり, $f(x)=g(x^{p^n})$ となる.
• Galois 理論 Galois の基本定理

• 圏論の基本 米田の補題

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\usepackage{tikz-cd}

\begin{document}
\begin{tikzcd}
    F(y) \arrow[r, "\phi(y)"] \arrow[d, "F(f)"] & G(y)=Hom_{Sets^{C^{op}}}(h_y,F) \arrow[d, "G(f)"] \\
    F(x) \arrow[r, "\phi(x)"] & G(x)=Hom_{Sets^{C^{op}}}(h_x,F)
\end{tikzcd}
\end{document}

• pairing